Деревня возникла на берегу р. Шалевка и получила свое название от имени первопоселенца Алдышка.

Населенный пункт основан в 20-е годы XVIII века. В списке селений Царевококшайского уезда за 1795 год имеются сведения о том, что в восьмом выселке Алдышка из д. Большие Шали находилось 5 дворов. Государственные крестьяне, мари числились при д. Большие Шали. Жители занимались земледелием, животноводством, а традиционные промыслы, охота и рыболовство были дополнительным источником жизнеобеспечения.

В 1859 году в околотке Алдышка находились 24 двора, проживали 94 мужчины, 92 женщины. В 1886 году в выселке Алдышка было 36 дворов, 94 мужчины, 102 женщины, большинство мари. В 1909 году в околотке Алдышка Большешалинского сельского общества Моркинской волости насчитывалось 46 домохозяев. Это были государственные крестьяне, православные черемисы.

В 1911 году основано начальное земское училище, которое размещалось в собственном деревянном здании, при школе работала библиотека. В 1919 году в школе I ступени обучались 18 мальчиков и столько же девочек. Уроки вела А.П. Андреева. В 1917 году работала лавка по торговле мелочным товаром, владельцем которой являлся Г. Дмитриев. В 1919 году открыта изба-читальня. В 1924 году при школе I ступени были организованы курсы для подготовки школьных работников по ликвидации неграмотности.

В 1924 году в д. Алдышка находились 64 двора, проживали 340 человек, мари. Сельскохозяйственная артель "Кугунур" организована в 1931 году. В 1938 году в состав колхоза входил 61 двор.

В 1949 году в состав колхоза "Кугунур" входило 82 двора, 354 человек. Колхоз обслуживался Моркинской МТС. Его возглавлял Л.В. Васильев.

В 1952 году д. Алдышка входила в состав колхоза "Авангард", центральная усадьба которого находилась в д. Кучко-Памаш. В 1959 году здесь проживали 119 мужчин и 194 женщины, большинство мари.

В 2004 году в д. Алдышка находится 28 домов, проживают 79 человек, мари. Жители имеют необходимую бытовую технику, 1 автомобиль.

Жители пользуются колодезной и ключевой водой, есть 1 пруд и 1 колодец, рядом протекает р. Кушмара. Деревня входит в состав СПК СХА "Авангард". В настоящее время она остается единственной деревней сельсовета без асфальтовой дороги и водопровода, телефонная связь восстановлена. Имеются бригадный дом, котельная, телятник и пасека колхоза "Авангард". Дети учатся в средней школе д. Кучко-Памаш.

Среди уроженцев деревни Алдышка немало известных в республике людей. Среди них заслуженная артистка РСФСР, народная артистка Марийской АССР А.Т. Тихонова; кандидат педагогических наук, профессор, заслуженный деятель науки Марийской АССР и отличник народного просвещения РСФСР С.Д. Дмитриев; заслуженный артист Республики Марий Эл, артист балета Гос. ансамбля танца "Марий Эл" А.В. Данилов; заслуженный работник здравоохранения Республики Марий Эл, старшая медсестра кардиологического отделения Республиканской больницы Р.И. Атабаева (Павлова); заслуженная учительница школы РСФСР, кавалер ордена Ленина и ордена "Знак Почета", награжденная Почетными грамотами Министерства просвещения РСФСР и Президиума Верховного Совета Марийской АССР М.Ф. Федотова.